4 июня 2018
Разбор экономической задачи, которая вызвала затруднения у многих выпускников.
15 января планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 21 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; — с 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;- на 15-е число каждого с 1-го по 20-й месяц долг должен уменьшаться на 50 тыс. руб.;- за двадцать первый месяц долг должен быть погашен полностью.Сколько тысяч рублей составляет долг на 15-е число 20-го месяца, если банку всего было выплачено 2073 тыс. рублей?
Требуется найти (S — 1000 = 800).
Ответ: 800 тыс. рублей.
Размещённые в настоящем разделе сайта публикации носят исключительно ознакомительный характер, представленная в них информация не является гарантией и/или обещанием эффективности деятельности (доходности вложений) в будущем. Информация в статьях выражает лишь мнение автора (коллектива авторов) по тому или иному вопросу и не может рассматриваться как прямое руководство к действию или как официальная позиция/рекомендация АО «Открытие Брокер». АО «Открытие Брокер» не несёт ответственности за использование информации, содержащейся в публикациях, а также за возможные убытки от любых сделок с активами, совершённых на основании данных, содержащихся в публикациях. 18+
АО «Открытие Брокер» (бренд «Открытие Инвестиции»), лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг на осуществление брокерской деятельности № 045-06097-100000, выдана ФКЦБ России 28.06.2002 (без ограничения срока действия).
ООО УК «ОТКРЫТИЕ». Лицензия № 21-000-1-00048 от 11 апреля 2001 г. на осуществление деятельности по управлению инвестиционными фондами, паевыми инвестиционными фондами и негосударственными пенсионными фондами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия. Лицензия профессионального участника рынка ценных бумаг №045-07524-001000 от 23 марта 2004 г. на осуществление деятельности по управлению ценными бумагами, выданная ФКЦБ России, без ограничения срока действия.
В этой статье — решение задач на кредиты второго типа. Схема 2: с дифференцированными платежами. В условии есть информация об изменении суммы долга.
Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.
1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на
больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Ключевая фраза в условии: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца». Другими словами, сумма долга уменьшается равномерно. Что это значит?
Если вначале сумма долга равна S, то через месяц (после начисления процентов и первой выплаты) она уменьшилась до
.Еще через месяц будет
— и так до нуля.
Нарисуем схему погашения кредита.
Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.
Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 19.
Вот клиент берет в кредит сумму
. После начисления процентов сумма долга увеличилась в
раз и стала равна
. После первой выплаты сумма долга уменьшилась на
и стала равной
. Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна
Сумма всех выплат:
Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой
В первой скобке — сумма 19 слагаемых, во второй сумма 18 слагаемых.
По формуле сумма арифметической прогрессии,
Получим, что общая сумма выплат
— величина переплаты. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит.
В нашей задаче
Обратите внимание. Общая сумма выплат:
— величина переплаты,
В следующих задачах мы будем (если это возможно) применять удобную формулу для переплаты без вывода. Однако на экзамене вам надо будет ее вывести. Иначе решение могут не засчитать.
2. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на
На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на
По формуле для переплаты
при выплате суммы кредита
— искомое число месяцев, а
— величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата
3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на
В этой задаче (как и в большинстве задач ЕГЭ) мы не сможем применить формулу для величины переплаты. Ведь погашение кредита происходит неравномерно. Первые 5 месяцев долг ежемесячно уменьшается на
своей величины, а в последний месяц сразу до нуля.
Запишем, чему равна каждая выплата, и найдем сумму всех выплат.
— общая сумма выплат,
— сумма кредита.
4. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на
по сравнению с концом предыдущего года.
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.
— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.
В 2018 году появились, пожалуй, самая сложная задачи ЕГЭ такого типа. Вот большая статья о том, что же все-таки было на ЕГЭ-2018:
Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.
Подведем итоги. Соберем всё, что узнали о решении задач на кредиты по второй схеме (с дифференцированными платежами) в небольшую таблицу:
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике. Задание № 15. Кредиты. Схема 2: известна информация об изменении суммы долга.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
В 2018 году на ЕГЭ по математике появились задачи, напугавшие многих выпускников. «Это страшно, — говорили они после экзамена. — Никогда такого не было. Решить невозможно».
Конечно же, я сочувствую абитуриентам, для которых ЕГЭ – все-таки большой стресс. Экзамен – это испытание не только знаний, но и хладнокровия, и способности действовать в сложной ситуации. И может быть, сказать себе: «Да, задача необычная, но я знаю общий подход к решению таких задач – справлюсь и на этот раз».
Действительно ли настолько страшны были «банковские» задачи на ЕГЭ по математике 2018 года? Они своеобразны. Их невозможно решить без подготовки, без знания того, как вообще устроены задачи ЕГЭ на кредиты.
Запомним: есть всего два типа «банковских» задач, или задач на кредиты.
Выплаты кредита производятся . Эта схема еще называется «аннуитет». К первому типу относятся также все задачи, где известны (или дана закономерность именно для ).
Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами». Ко второму типу относятся также задачи, где известна закономерность уменьшения .
О двух схемах решения задач на кредиты – мой краткий теоретический материал.
Посмотрим с этой точки зрения на «банковские» задачи ЕГЭ-2018.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?
Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
Пусть S – сумма, которую планируется взять в кредит,
Z – общая сумма выплат, Z = 1604 (тыс. рублей),
Х — ежемесячное уменьшение суммы долга, Х = 30 (тысяч рублей),
p=3% — процент, начисляемый банком ежемесячно.
После первого начисления процентов сумма долга равна
После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в
раза. В нашей задаче k = 1,03.
Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:
После первого начисления процентов сумма долга равна kS. Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S – X, где Х = 30 (тысяч рублей).
Значит, первая выплата равна kS – (S – X) (смотри схему).
Последняя выплата: k ( S – 20 X).
Найдем общую сумму выплат Z:
Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель k, и те, в которых нет k.
Упростим выражения в скобках:
В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии:
В этой задаче мы тоже ее используем:
k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z.
Осталось подставить числовые значения:
S ( 21⋅ 1,03 – 20) – 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.
Отсюда S = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.
Следующая задача относится к тому же типу. Математическая модель та же самая. Только найти нужно другую величину – процент, начисляемый банком. К тому же количество месяцев, на которое взят кредит, неизвестно.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.
Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.
S = 1000000 рублей = 1000 (тыс. рублей) – сумма кредита,
Х = 40 (тыс. рублей) – ежемесячное уменьшение суммы долга,
Z = 1378 (тыс. рублей) – общая сумма выплат,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.
Рисуем уже знакомую схему погашения кредита.
Первая выплата: kS – (S – X).
Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).
Последняя выплата: k ( S – n X).
По условию, 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей.
Значит, S – nX = 200. Подставим числовые данные:
1000 – 40 n = 200; тогда n = 20, n + 1 = 21, то есть кредит был взят на 21 месяц. Очень удобно – количество месяцев в этой задаче оказалось таким же, как в предыдущей. Поэтому очень кратко повторим основные моменты решения
Общая сумма выплат Z:
Мы снова использовали ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:
По условию, Z = 1378 (тыс. рублей).
Выразим k из формулы S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z:
Подставим данные из условия задачи.
Ответ: r = 3%.
Третья задача из числа «кошмаров» ЕГЭ-2018 по математике. Та же схема!
3.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Тоже задача второго типа – есть информация об уменьшении суммы долга. Точно также будем вести расчеты в тысячах рублей.
S = 300 (тыс. рублей) – сумма кредита,
n = 21 – количество месяцев,
r = 2%;
Х – ежемесячное уменьшение суммы долга,
Z – общая сумма выплат.
Рисуем ту же схему, что и в предыдущей задаче. По условию, 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей.
Значит, S – 20 X = 100. Подставив данные из условия, найдем, что Х = 10.
Точно так же считаем сумму выплат (смотри задачи 1 и 2).
Z = S (21k – 20) – 210 X (k-1).
Подставляем данные из условия: Z = 300 (21 ⋅ 1,02 – 20) – 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384 (тыс. рублей).
Ответ: 384000 рублей.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
B вариантах ЕГЭ по математике 2022 года задача с экономическим содержанием, № 15, оценивалась в 2 первичных балла. B прошлые годы она стоила дороже –целых 3 первичных балла.
Зато и набор тем в задании 15 в этом году был сокращенным: только задачи на кредиты. И никаких заданий на оптимизацию.
Напоминаем, что задачи на кредиты бывают двух основных типов. О решении «экономических» задач – читайте в этом разделе.
Первый тип, аннуитет. Кредит погашается равными платежами или есть информация о платежах.
Подробно об этой схеме погашения кредита – здесь.
Bторой тип, схема с дифференцированными платежами. Сумма долга уменьшается равномерно, или же есть информация об изменении суммы долга. B задачах этого типа часто применяются формулы суммы арифметической прогрессии.
Подробно о схеме с дифференцированными платежами здесь.
На этой странице мы разберем задачи по финансовой математик, предложенные на ЕГЭ-2022 в разных регионах России.
1. ЕГЭ-2022, Москва
B июле 2022 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью выплачен за 3 года, причем в первый и второй год будет выплачено по 300 тыс. руб., а в третий 417,6 тыс. руб.
Пусть S — сумма кредита,
р — процент банка,
— коэффициент, показывающий во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов,
x=300 тыс. руб. – платеж в первый и второй годы,
– платеж в третий год.
Составим схему погашения кредита.
Ответ: 700 000 рублей
2. Дальний Bосток
B июле 2016 г. планируется взять кредит на 5 лет в размере 1050 тысяч рублей.
— Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— B июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 1050 тысяч рублей,
— выплаты в 2020 и 2021 годах равны по X тысяч рублей,
— к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за 5 лет.
Пусть A = 1050 тыс. рублей – сумма кредита,
B 2017 – 2019 годы долг остается равен 1050 тыс. рублей,
B 2020 и 2021 годы выплаты равны по X тыс. рублей.
Составим таблицу погашения долга.
Поскольку к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью, то
605 ( тыс. рублей).
Общая сумма выплат за 5 лет составит:
Ответ: 1525тыс. рублей.
3. Досрочная волна, Санкт-Петербург
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 18-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– к 15-му числу 19-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 18-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1209 тысяч рублей?
Обозначим S — сумму кредита,
n = 19 месяцев,
p = 2%,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов,
x — сумма, на которую уменьшается долг с 1-го и по 18-й месяц; x=50тыс. руб.
Общая сумма выплат B = 1209 тыс. рублей.
Найдем сумму арифметической прогрессии.
Ответ: 100 тысяч рублей.
4. Основная волна, Bосток
B июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 3,3 млн руб. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле 2027, 2028 и 2029 годах долг остаётся равен 3,3 млн руб.;
– платежи в 2030 и 2031 годах должны быть равны;
– к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.
Найдите разницу между первым и последним платежами.
S=3,3 млн. руб. – сумма кредита;
p=20% — процентная ставка;
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Рисуем схему погашения кредита:
Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .
Это значит, что
и тогда первая выплата:
Ответ: 1,5 млн. рублей
5. Основная волна, Bосток
B июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2023, 2024 и 2025 годах сумма долга остается равной 1050 тыс. руб.;
– выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
– к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
S=1050 тыс. руб. – сумма кредита;
p=10% — процентная ставка;
— коэффициент, показывающий во сколько раз, увеличивается долг после начисления процентов
Ответ: 500 тысяч рублей
6. Санкт-Петербург, Москва
B июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. руб.;
– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. руб. Какую сумму планируется взять в кредит?
Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. B условии сказано, что кредит будет выплачен сначала двумя равными платежами, а затем третьим платежом выплачивается остаток долга.
S тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
p=20% — процент банка,
— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,
X=300 тыс. руб – сумма ежегодного платежа в 2027 и 2028 годах;
Y=417,6 тыс. руб. — платеж в 2029 году
Sk — сумма долга увеличивается в k раз,
Клиент вносит на счет сумму X в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на X . Bот что получается:
Снова долг увеличивается в k раз
И в третий раз увеличивается долг в k раз
Что же, можно подставить численные данные.
Ответ: 700 тысяч рублей
7. Основная волна, Москва, Санкт-Петербург
B июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 634,5 тыс. руб. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– платёж в 2027 и 2028 годах должен быть по 100 тыс. руб.;
Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.
Это задача первого типа. Есть информация о платежах. B условии сказано, что кредит будет выплачен двумя равными платежами и третьим весь остаток долга.
S=634,5 тыс. рублей — сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.
p=10% — процент банка,
X=100 тыс. руб – сумма ежегодного платежа в 2027 и 2028 годах;
Y тыс. руб. — платеж в 2029 году
Подставим численные данные.
Сумма всех платежей:
Ответ: 813,5195тыс.рублей = 813519,5 рублей.
Эта задача отличается от предыдущих только вычислительными трудностями. Получается, что задачи неравноценны: в одних вариантах удачные численные данные, в других – нет. Не повезло тем, кому она досталась. Пришлось считать сумму выплат с точностью до 50 копеек.
8. ЕГЭ, резервная волна
15-го января планируется взять кредит в банке на девять месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Это задача на дифференцированные платежи с равномерным погашением долга.
Пусть S тыс. рублей – сумма кредита;
n=9 месяцев – срок кредита;
r% — процент банка,
Мы нашли суммы арифметических прогрессий:
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Финансовая математика на ЕГЭ-2022. Задача 15» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
07.05.2023
Возникают проблемы с задачами из ЕГЭ по математике на дифференцированные выплаты по кредиту?
Приветствую! Меня зовут Александр. Мне 35+ лет, и вот уже на протяжении 15 лет я готовлю школьников к успешной сдаче ЕГЭ по математике и информатике. Также оказываю профессиональную помощь студентам при подготовке к зачетам и экзаменам по программированию и базам данных.
Я понимаю, что вы достаточно занятой человек и цените свое время, но, несмотря на это, я настоятельно рекомендую потратить буквально $2-3$ минуты собственного времени и познакомиться с отзывами моих подопечных. Большинство из них получило свыше $91$ балла на официальном экзамене ЕГЭ по математике. Думаю, что вы способны, точно не на меньшее!
Задачи из экономического блока являются достаточно сложными и требуют специфических знаний. Огромна вероятность того, что на рубежном контроле вам попадется задание на дифференцированные выплаты. Не знаете, как их правильно и быстро решить? Тогда берите в руки телефон, дозванивайтесь до меня и записывайтесь на первый пробный урок.
Условие задачи
$15$ января планируется взять кредит в банке на покупку нового автомобиля на $39$ месяцев.
Условия его возврата таковы:
$1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $q%$ по сравнению с концом предыдущего месяца.
Со $2$-го по $14$-е число месяца необходимо выплатить часть долга.
$15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на $20%$ больше суммы, взятой в кредит.
Не получается успешно решать задачи, где нужно использовать формулу дифференцированных платежей?
Привет! Вы находитесь на персональном сайте профессионального репетитора по математике, информатике, программированию, алгоритмам и базам данных. Моя ключевая компетенция — подготовка школьников $10-11$-ых классов к успешной сдаче ЕГЭ по математике и информатике.
Оказались вы на этой веб-странице не случайно. Очень вероятно, что вы имеете колоссальные проблемы с формулой дифференцированных платежей, я прав? Если, да, то вы попали по адресу!
Знакомьтесь до конца с материалом, и я гарантирую, что вы однозначно станете сильнее в подобных заданиях.
Я понимаю, что вы достаточно занятой человек, который ценит каждую секунду, но, несмотря на это, я настоятельно рекомендую вам потратить буквально $2-3$ минуты и ознакомиться с отзывами моих подопечных. Все они достигли поставленных целей! У вас тоже получится.
Берите в руки сотовый телефон, набирайте мой контактный номер, дозванивайтесь, обговаривайте все нюансы и записывайтесь на первый пробный урок. Я один, а желающих заниматься со мной предостаточно, поэтому, не упустите свой шанс. Количество ученических мест ограничено.
$15$ января планируется взять кредит в банке на $15$ месяцев.
Известно, что восьмая выплата составила $108 000$ рублей.
Какую сумму (в миллионах) нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Что-то все равно осталось непонятным? Звоните и записывайтесь на 1-й пробный урок!
Если после прочтения данного материала у вас остались какие-то вопросы, недопонимания, то это некритично, и, даже, вполне логично! Недостаточно пристально рассмотреть одно решение задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике. Нужен комплексный подход!
Я — репетитор-практик, который на своих занятиях, уделяет львиное количество времени конкретным разборам, техникам и эффективным методикам решения. Всевозможной теории полно в глобальной сети Интернет, а экзамен ЕГЭ по математике является практическим, то есть нужно уметь решать, а не знать теоретические изыски.
Мои занятия проходят дистанционно, посредством таких программ, как «Скайп» и «AnyDesk». Подобный формат взаимодействия репетитора с учеником является очень удобным, позволяет задействовать мультимедийные технологии, а также достаточно недорог.
Я достаточно востребованный и известный репетитор по математике и информатике, поэтому, не откладывайте свое решение в долгий ящик. Действуйте прямо сейчас! И не забывайте, что количество ученических мест ограничено, поэтому, завтра свободных мест уже может и не остаться.
Примеры условий реальных задач, встречающихся на ЕГЭ по математике
Специально для своих учеников и читателей моего сайта, я подготовил список задач из финансового блока ЕГЭ по математике, в которых нужно, так или иначе, использовать формулы дифференцированных платежей.
В мае планируется взять кредит в банке на сумму (10) миллионов рублей на (5) лет.
Условия его возврата таковы:
Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения банковского кредита?
В июле планируется взять кредит в банке на сумму (6) миллионов рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил (1.8) миллиона рублей?
В июле планируется взять кредит в банке на сумму (20) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась (47) миллионов рублей?
В июле планируется взять кредит в банке на сумму (16) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась (38) миллионов рублей?
В июле планируется взять кредит в банке на сумму (6) миллионов рублей на срок (15) лет.
Условия его возврата таковы:
Найти (q), если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более (1.9) миллиона рублей, а наименьший не менее (0.5) миллиона рублей.
(15) января планируется взять кредит в банке на (39) месяцев.
Условия его возврата таковы:
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на (20%) больше суммы, взятой в кредит. Найдите (q).
Анатолий взял банковский кредит сроком на (9) лет. В конце каждого года общая сумма оставшегося долга увеличивается на (17%), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый год уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Анатолием банку (сверх кредита)?
Анна взяла кредит в банке на срок (12) месяцев ((1) календарный год). В соответствии с банковским договором Анна возвращает кредит банку ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется (q%) этой суммы, и своим ежемесячным платежом Анна погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга.
Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая модель называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Анной банку за весь период кредитования, оказалась на (13%) больше, чем сумма, взятая ей в кредит. Найдите процентную ставку банка, то есть (q).
В июле планируется взять кредит в банке на сумму (28) миллионов рублей на некоторый срок (целое число лет).
Условия его возврата таковы:
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит (9) миллионов рублей?
(15) января планируется взять кредит в банке на (15) месяцев.
Условия его возврата таковы:
Известно, что восьмая выплата составила (108,000) рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Все эти задачи на дифференцированные платежи из ЕГЭ по математике решаются достаточно быстро, если вы хорошо знаете, как устроена математическая модель дифференцируемых платежей. Повторю, уже, наверное, раз $10$-ый — разбирайтесь с математической моделью, и будем вам счастье.
Также, время от времени, рекомендую обращаться к этому списку заданий, так как он постоянно обновляется и дополняется, появляются новые условия, а также соответствующие мои математические разборы.
Хотите научиться профессионально решать задачи на дифференцированные выплаты по кредиту? Записывайтесь на частные уроки!
Прочитали материал и не все понятно? Это абсолютно нормальное состояние!
Новичкам всегда сложно вникнуть с $1$-го раза в такую сложную тему, как задачи на дифференцированные выплаты по кредиту. Именно для таких ситуаций существую я — репетитор для школьников по математике при подготовке к ЕГЭ.
Для своих потенциальных клиентов я разработал специальный финансовый фильтр, который позволит вам выбрать из множества вариантов моего тарифа, тот, который вам подходит больше всего.
Мы живем в эпоху виртуализации, поэтому большинство моих учеников занимаются со мной дистанционно, посредством программы «Скайп». Это удобно, не менее эффективно, чем при занятиях вживую, а также совсем недорого. Надеюсь, этот формат взаимодействия вам понравится.
Мой контактный номер можете найти в шапке этого сайта. Звоните, договаривайтесь о проведении первого пробного занятия, и начинаем грызть задачи на дифференцированные выплаты. Я готов! А вы?
А сейчас пришла пора вам самостоятельно решить ниже приведенные задачи на дифференцированные выплаты по кредиту. Каждая из них имеет полноценное текстовое решение. Но, все-таки, попробуйте побороть их сами, а затем уже сверить ответы. Конечно, если вы чувствуете, что пока ваших знаний недостаточно для решения подобных заданий, то смело переходите по соответствующей ссылке и внимательно исследуйте решение.
А вообще, за многие годы работы репетитором по математике и информатике, в моей коллекции накопилось множество индивидуальных программ подготовки школьников по финансовым задачам. Поэтому, если нуждаетесь в такой программе, то я могу вам выслать ее на ваш электронный адрес. Напишите мне на почту, которую можно найти в подвале сайте, пройдя по ссылке «Контакты» и сделайте запрос на получение такой программы.
$15$ января планируется взять кредит в банке на (39) месяцев.
Условия его возврата таковы:
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на $20%$ больше суммы, взятой в кредит. Найдите $q$.
Рекомендую перманентно отслеживать данный перечень заданий на дифференцированные выплаты, так как я стараюсь постоянно наполнять его новыми качественными материалами, в том числе нестандартными задачами на дифференцированные платежи по кредиту.
И помните о том, что только упорная практика и правильно подобранная органичная программа индивидуальной подготовки, сделает из вас профессионального решателя в данной области.
Решение задачи
Внимательно перечитываем постановку задачи и пытаемся найти фразы-маркеры, которые подскажут нам, какую кредитную программу нужно использовать. Напомню, что в заданиях на кредиты из экономического блока ЕГЭ по математике встречаются $2$ принципиально разные схемы выплат:
Данная фраза-маркер «$15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца» все расставляет по своим местам! Перед нами задача на применение формулы дифференцированных платежей.
Повторяю об этом на каждом уроке и в каждой статье на сайте: для успешного решения задач, ориентированных на дифференцируемые платежи, нужно очень основательно понимать соответствующую математическую модель. Не знакомы с ней? Срочно бегите ее изучать, исследовать. Можете потратить любое количество времени, до тех пор, пока не разберетесь со всеми нюансами.
Давайте введем следующие обозначения:
Эти обозначения являются сквозными во всех моих разборах. Это удобно, и позволяет читателю безболезненно переключаться между решениями, не путаясь в математических преобразованиях.
Из условия вытекает, что:
Наша задача определить $P$, то есть общий размер всех платежей/выплат!
Важно! Если вы хотите получить максимальный балл за решение задачи, где нужно применть формулу дифференцированных платежей, то в своем решении постарайтесь привести вывод соответствующей математической модели. Уже писал выше о том, что, если плохо знакомы с этой моделью, то идите и зубрите ее.
Давайте пристально посмотрим на формулу, которая позволяет получить общий размер всех выплат:
В этой формуле нам неизвестен размер первоначального кредита, то есть переменная $S$. Следовательно, чтобы продолжить решение, нам нужно воспользоваться следующим ограничением: «восьмая выплата составила $108 000$ рублей».
Вспомним, что платеж за любой отчетный период формируется из размера начисленных процентов за данный период и равной части стартовой ссуды:
Чтобы определить объем начисленных банком процентов за $8$ период, снова обратимся к математической модели:
Тогда решим уравнение, чтобы определить размер стартового кредита:
$8 * 0.01 * S + S = 108 000 * 15$
$S = 1000 * 15 * 100$
$S = 1 500 000$, руб. или $1.5$, млн.руб — размер первоначального кредита.
Теперь у нас все готово для того, чтобы рассчитать общий объем всех платежей. Поехали! Не забываем производить расчет в «миллионах»,- такое требование в условии задачи.
$P = 1.5 * 0.01 * 8 + 1.5$
$P = 12 * 0.01 + 1.5$
$P = 0.12 + 1.5$
$P = 1.62$, млн.руб. — общий размер всех платежей.
Отлично! Результат получен! Но может возникнуть такой вопрос, у некоторых педантичных старшеклассников: «А ответ-то правильный?»
Уверен, что, да! И сейчас попробую это доказать.
Для этого я прибегну к первоклассной программе «MS Excel», при помощи которой, сформирую процессинговую таблицу. Вот эта таблица:
Данная таблица чем-то напоминает арифметический способ решения заданий из экономического блока. А вообще, используя значения этой таблицы, можно проводить всесторонний анализ. Четко прослеживаются все арифметические прогрессии, любые размеры сумм и т.п.
Кстати, данная таблица однозначно доказывает, что наше алгебраическое решение, с применением формул дифференцированных платежей, абсолютно правильное.
Приступим? С чего начать? Давайте очень внимательно перечитаем несколько раз условие задачи и попытаемся понять, какую кредитную программу нужно применить. Напомню, что фундаментально существует лишь 2 типа банковских кредитных программ: дифференцированные выплаты и аннуитетные платежи по кредиту.
На самом деле, здесь все предельно просто детектировать. Есть мощнейший маркер, который четко дает понять, что данное задание на модель дифференцированных платежей. Вот эта, фраза-маркер: «(15-го) числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на (15-е) число предыдущего месяца». Здесь завуалировано говорится о главном свойстве дифференцированных выплат.
В каждом из моих решений используется данная нотация обозначений. Это позволяет читателю безболезненно переключаться между решениями, быстрее понимать смысл математических выкладок.
Или, если выражать через части/доли относительно $S$: $P = 1.2 * S$.
Наша цель определить значение переменной $q$. Внимательно, ищем именно $q$, а не $r$. Хотя эти переменные выражают одно и то же, только с разных ракурсов..
Далее нужно воспользоваться мощнейшей формулой, которая связывает все воедино. Для этого нужно основательно понимать, как устроена математическая модель дифференцированных выплат. Сразу скажу, кто знает данную математическую модель, тот без особого труда сможет щелкать экономические задачки на дифференцированные платежи, буквально за несколько минут.
Давайте подставим все известные в эту крутейшую формулу:
$20 * r = 0.2$
Готово! Элементарно, не правда ли?
Но это еще не ответ, так как мы нашли процентную ставку, выраженную в долях, а нам требуется в процентах. Нет проблем! $q = r * 100% = 0.01 * 100% = 1%$. А вот это уже официальный ответ к данной задаче.
Но как убедиться в правильности полученного результата? А вдруг где-то затерялась ошибка! На своих частных занятиях я строю верифицирующую таблицу в превосходной программе «MS Excel». Так как количество отчетных периодов велико ($n = 39$), то приведу в качестве доказательства лишь верхнюю и нижнюю часть таблицы:
Данная великолепная аналитическая таблица демонстрирует все этапы дифференцированных выплат по кредиту. Внимательный старшеклассник сразу заметит некоторые закономерности в колонках этой таблицы, а именно, что данные подчиняются убывающей арифметической прогрессии.
На самом деле в этом нет ничего удивительного, так как дифференцированные выплаты обладают таким свойством. А самое главное — этим свойством нужно уметь пользоваться при решении подобных заданий на официальном экзамене ЕГЭ по математике.
Ответ: $1 %$.
Выводы и рекомендации
Пожалуй, самая главная моя рекомендация — тщательно и скрупулезно изучить математическую модель дифференцируемых платежей. Также выучить все свойства этой модели. Назубок выучить все формулы, которые в этой модели встречаются.
Очень внимательно перечитывайте постановку задачи и не перепутайте тип кредитной программы. Если перепутаете — ответ будет абсолютно неправильным. Следите за фразами-маркерами, в которых зашифрована информация о типе кредитных платежей.
В процессе решения не забудьте привести выкладки математической модели дифференцируемых платежей, а также все формулы дифференцированных платежей в общем виде. Иначе эксперты могут посчитать ваше решение неполным, и, как следствие, снизить итоговый балл.
И старайтесь задания из экономического блока ЕГЭ по математике все-таки решать алгебраическим способом, используя различные формулы и доказательства. Это профессиональный подход, показывающий вашу финансовую квалификацию!
Если будете основательно понимать математическую модель дифференцированных платежей, то никакие задачи из экономического блока ЕГЭ по математике вам не страшны.
Если плохо понимаете эту модель — срочно бегите ее изучать! Либо самостоятельно, либо под моим началом на индивидуальных уроках.
В обязательном порядке нужно знать свойства дифференцируемых платежей по кредиту, а также понимать принцип работы арифметической прогрессии. Не помешало бы также осознание того, как устроены простые проценты.
Ну, и, разумеется, нужно уметь правильно детектировать кредитную программу. В этом вам поможет многократное перечитывание условия задачи с поиском нужных маркеров.